什么是线性规划

问题：什么是线性规划？线性规划是什么意思？

线性规划是合理利用、调配资源的一种应用数学方法。它的基本思路就是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优。它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少的资源(人力、物力和财力)去实现这个任务；二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使任务完成的最多。前者是求极小，后者是求极大。线性规划是在满足企业内、外部的条件下，实现治理目标和极值(极小值和极大值)问题，就是要以尽少的资源输入来实现更多的社会需要的产品的产出。因此，线性规划是辅助企业“转轨”、“变型”的十分有利的工具，它在辅助企业经营决策、计划优化等方面具有重要的作用。 www.58live.com.cn

线性规划是运筹学规划论的一个分支。它发展较早，理论上比较成熟，应用较广。20世纪30年代，线性规划从运输问题的研究开始，在二次大战中得到发展。现在已广泛地应用于国民经济的综合平衡、生产力的合理布局、最优计划与合理调度等问题，并取得了比较显著的经济效益。线性规划的广泛应用，除了它本身具有实用的特点之外，还由于线性规划模型的结构简单，比较轻易被一般未具备高深数学基础，但熟悉业务的经营治理人员所把握。它的解题方法，简单的可用手算，复杂的可借助于电子计算机的专用软件包，输入数据就能算出结果。

线性规划的研究与应用工作，我国开始于20世纪50年代初期，中国科学院数学所筹建了运筹室，最早应用在物资调运筹方面，在实践中取得了成果，在理论上提出了论证。目前，国内高等学校已将其列为运筹学中必选的课程内容之一，在实际应用方面也已列入重点企业试点和研究项目之一。 www.58live.com.cn

线性规划模型的结构

企业是一个复杂的系统，要研究它必须将其抽象出来形成模型。假如将系统内部因素的相互关系和它们活动的规律用数学的形式描述出来，就称之为数学模型。线性规划的模型决定于它的定义，线性规划的定义是：求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解。 www.58live.com.cn

根据这个定义，就可以确定线性规划模型的基本结构。 www.58live.com.cn

（1）变量 变量又叫未知数，它是实际系统的未知因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如X_l，X₂，X₃，X_mn等。

（2）目标函数 将实际系统的目标，用数学形式表现出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值，如产值极大值、利润极大值或者极小值，如成本极小值、费用极小值、损耗极小值等等。 www.58live.com.cn

（3）约束条件 约束条件是指实现系统目标的限制因素。它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面，如原材料供给、设备能力、计划指标、产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件。 www.58live.com.cn

约束条件的数学表示形式为三种，即≥、＝、≤。线性规划的变量应为正值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负。在经济治理中，线性规划使用较多的是下述几个方面的问题： www.58live.com.cn

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问题：什么是线性规划？线性规划是什么意思？
(1) 投资问题—确定有限投资额的最优分配，使得收益最大或者见效快。 www.58live.com.cn

(2) 计划安排问题—确定生产的品种和数量，使得产值或利润最大，如资源配制问题。 www.58live.com.cn

(3) 任务分配问题—分配不同的工作给各个对象(劳动力或机床)，使产量最多、效率最高，如生产安排问题。 www.58live.com.cn

(4) 下料问题—如何下料，使得边角料损失最小。

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(5) 运输问题—在物资调运过程中，确定最经济的调运方案。 www.58live.com.cn

(6) 库存问题—如何确定最佳库存量，做到即保证生产又节约资金等等。

应用线性规划建立数学模型的三步骤： www.58live.com.cn

(1) 明确问题，确定问题，列出约束条件。

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(2) 收集资料，建立模型。 www.58live.com.cn

(3) 模型求解(最优解)，进行优化后分析。

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其中，最困难的是建立模型，而建立模型的要害是明确问题、确定目标，在建立模型过程中花时间、花精力最大的是收集资料。

线性规划的应用实例 www.58live.com.cn

例1 某工厂甲、乙两种产品，每件甲产品要耗钢材2kg、煤2kg、产值为120元；每件乙产品要耗钢材3kg，煤1kg，产值为100元。现钢厂有钢材600kg，煤400kg，试确定甲、乙两种产品各生产多少件，才能使该厂的总产值最大？

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解 设甲、乙两种产品的产量分别为X₁、X₂，则总产值是X₁ 、X₂的函数 www.58live.com.cn

f(X₁，X₂)＝120X₁＋100X₂ www.58live.com.cn

资源的多少是约束条件： www.58live.com.cn

由于钢的限制，应满足2X₁＋3X₂≤600；由于煤的限制，应满足2X₁＋X₂≤400。 www.58live.com.cn

综合上述表达式，得数学模型为 www.58live.com.cn

求最大值（目标函数）：f(X₁，X₂)＝120X₁＋100X₂ www.58live.com.cn

2X₁＋3X₂≤600 www.58live.com.cn

2X₁＋X₂≤400 www.58live.com.cn

X₁≥0，X₂≥0 www.58live.com.cn

X_l，X₂为决策变量，解得X_l≤150件，X₂≤100件 www.58live.com.cn

fmax＝(120 ×150＋100×100)元＝28000元 www.58live.com.cn

故当甲产品生产150件、乙产品生产100件时，产值最大，为28000元。

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表1-1 加工台时数

例2 某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品。这些产品分别需要在A、B、C、D四种不同设备上加工。按工艺规定，产品甲和乙在各设备上所需加工台数列表于表1-1中。已知设备在计划

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问题：什么是线性规划？线性规划是什么意思？
期内的有效台时数分别是12、8、16和12(一台设备工作lh称为一台时)，该工厂每生产一件甲产品可得利润20元，每生产一件乙产品可得利润30元。问应如何安排生产计划，才能得到最多利润？

解 l) 建立数学模型

设 X₁ 、X₂分别表示甲、乙产品的产量，则利润是f（X

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